数列极限定义
设一个数列{an}，存在一个常数a，使得任意一个正数ε（不管他有多小），总存在一个N，当n>N时
|an-a|<ε 恒成立，则称数a是数列 {an} 的极限，或称数列 {an} 收敛于 ε
若不存在这样的数a，则称数列 {an} 是发散的
ε-N语言
- ∀ 是Arbitrary(任意的)上下倒写，∃是Exist(存在)左右倒写
数列收敛与子数列收敛的关系
子列
从数列{an}中按规则选取n项，按原先数列的顺序组成的新数列，称新数列为原数列的子列，记为
例如nk(k=1,2⋯)取{an}对应2k的子列
定理
若是数列{an}收敛，则其子列必然收敛
推论
如果原数列收敛于a，则它的子列也是收敛于a
判断数列发散：
- 原数列的子列是发散的，则原数列必然发散
- 原数列的两个子数列收敛于不同的极限，则原数列必然发散
收敛数列的性质
定理1唯一性
若数列存在极限a，则a唯一
定理2有界性
若数列极限存在，则数列有界
若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界
对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界
一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X(n=1,2,3，……)
定理3保号性：在局部范围内保持恒正或恒负的性质
若数列存在极限a，且a>0(或a<0),则存在正整数N，当n>N时，an>0(或an<0)
推论
如果数列从某项起an≥0，且数列存在极限a，则a≥0
极限运算规则
若
则
运算规则可以推广至有限个数列
夹逼准则
如果数列{xn}{yn}{zn}满足下列条件
则数列{xn}存在极限，且极限为a
单调有界准则
单调有界数列必有极限，即若数列{xn}单调增加(减少)且有上界(下界)，则极限存在