主要是计算
邻域
(1)一维情况
以x为中心的任何开区间称为x的邻域，记作U（x）
(2)二维情况
设P0(x0,y0)是XOY平面上的一点，δ是一个正数，与P(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体称为点P的δ邻域，记为U(P0,δ)
极限定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)的极限，记作
或
ε-δ语言
ε-X语言
函数极限存在充要条件
等式脱帽法
性质
唯一性
如果函数极限存在，那么极限唯一
指数函数，反三角函数，带绝对值的函数，取整函数要分零正零负讨论
局部有界性
如果函数极限存在，则存在正常数M和δ，当0<|x-x0|<δ,有|f(x)|≤M
- 函数存在极限必有界，有界不一定有极限y=sinx
- 导函数在有限区间有界,则函数在该区间上有界
- 闭区间上连续，必有界
- 有界函数与有界函数和差化积还是有界函数（有限次）
局部保号性
如果函数极限A>0,再去心邻域上，函数>0
- 如果f(x)≥0且极限为A(x→x0),则A≥0
五种方法求七种未定式
运算规则
若f(x),g(x)极限存在，则它们四则运算的结果就是极限的对应计算（注意除法被除数不为0）
注意：lim[ f(x) ]^n=[ limf(x) ]^n (n为正整数)
夹逼准则
若lim g（x）=A，lim h（x）=A
且g(x)≤f(x)≤h(x)
则f(x)存在极限且极限为A
设任意的x总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)-φ(x)]=0，只能说明两个函数的差的极限存在，不能证明φ(x),g(x)极限相等，有可能是无穷大不存在
洛必达法则
洛必达法则是用来简化极限运算的
那么
洛必达条件是“0/0”或“∞/∞”，两函数可导且被除的导函数不为0，导数除法的极限存在
洛必达可能失效：右存在，左必存在；左存在，右不一定存在
泰勒公式
用多项式函数去逼近光滑函数
如果函数 f(x)在含 x0的某个开区间 (a,b)内具有直到 (n+1) 阶导数，则对∀x∈(a,b) ，有
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况：即当 x0=0时的泰勒公式。所以将x0=0 带入公式，得
常用公式
等价无穷小代换式
高阶无穷小计算规则
有限个无穷小是无穷小
有界乘与无穷小是无穷小
有限个无穷小是无穷小
无穷小运算
- 设m，n是两个正数
- 加减法时低阶吸收高阶
- 乘法时阶数累加
- 非零常数相乘不影响阶数
泰勒公式展开规则
1.A/B型，上下同阶
分子分母都化成相同的x的k次幂
2.A-B型，幂次最低
A，B都化到它们系数不相等的x的最低最低次幂为止
海涅定理（归结原则）
将函数极限与数列极限联系起来（从离散到连续）
正推一般是计算，计算出函数极限就是对应数列的极限，数列的变量是离散量，不能用洛必达法则，也不能用求导工具，所以用函数就更好算
倒推一般是证明，任意个用穷举法永远取不完，证明很难，但是找到两个数列极限不同就能证明函数极限不存在