导数的概念
定义
若函数y=f(x)在x0邻域内有定义，且x+∆x在邻域内，则增量∆y为
当
存在，则称f(x)在x0处可导
并称这个极限为f(x)在x0处的导数
注意：
- 增量有时候会广义化
- 可以把增量写成差的形式(两种形式)
- 等价提法
- y=f(x)在x0处可导
- y=f(x)在x0处导数存在
- f’(x)=A(A为有限数)↔常数
- 单侧导数
导数充要条件
导数不存在的两种情况
1.角点
y=f(x)=|x|在x=0的切线
证明
2.铅垂线
y=f(x)=x^1/3在x=0的切线
证明
光滑不一定可导
导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0的导数f’(x)就是y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率
高阶导数
其中n≥2，x0+∆x在邻域内
微分的概念
若函数y=f(x)在x0邻域内有定义，且x+∆x在邻域内，则增量∆y为
若存在一个与∆x无关的常数A，使得
则称f(x)在x0处可微
称A∆x为f(x)在x0处的微分
A∆x被称为线性主部，o(x)称为误差，记作
可微的判别
写增量
写线性增量
做极限
若极限等于0则f(x)在x=x0处可微，否则不可微
上面的步骤可以看出，用形式简单的量“线性增量A∆x”去代替形式复杂的量“增量∆y”，且其中误差“∆y-A∆x”是“o(∆x)”可以忽略不记，这就是微分的含义
可导必可微，可微必可导，互为充要条件
可微的几何意义
