常微分方程01
概念微分方程含有未知函数及其导数(或者微分)的方程称为微分方程.一般写成 y的n阶导数不能缺 常微分方程未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 微分方程的阶方程中知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶 如:y’‘‘-y’‘+6y...
二重积分02
计算直角坐标系 后积先定限,限内画条线,先交写下限,后交写下限 对f(x,y)的其它情形(比如z为负),利用积分区域的可加性, 也可以化成累次积分。 若积分区域比较复杂, 则须对它进行划分,使分割后 的区域为简单区域。 ...
二重积分01
几何背景二重积分的几何意义可以参考定积分的几何意义 定积分 是求曲边梯形的面积 二重积分 表示曲顶柱体的体积 底面积(被积区域)乘以高(函数值) 不断累加得到体积 性质性质1(求区域面积) 其中A为D的面积 性质2(...
多元函数微分学3
多元函数的微分法则链式求导规则先写复合结构图,后面有分支就写偏微分,后面只有一个就微分 隐函数存在定理隐函数存在定理1 隐函数存在定理2 多元函数的极值与最值极大值概念若存在(x0,y0)的某个邻域,使得在该邻域任意一点...
多元函数微分学2
可微对于一元函数的微分 若函数在x0邻域内有定义,x+△x在x0邻域内有定义,则增量△y=f(x+△x)-f(x) 若存在一个常数A,使得△y=A△x+o(x) (o(x)为高阶无穷小),则称函数在x0可微 可微的本质是用简单的线性...
多元函数微分学01
基本概念 M0的δ邻域 在平面上有一点M0, δ >0,以M0为圆心, δ 为半径的圆的内部称为M0的 δ 邻域 给定平面内一点集E,对应有几个概念,内点,边界点,外点 聚点 闭区域的内点和边界点,开区域的内点和不属于它的边界...
积分等式与积分不等式
积分等式 中值定理 推广的积分中值定理 夹逼准则 此方法的信号就是极限后面有积分 注意:下面这题必须按顺序计算,先算积分再取极限,不能交换,交换需给出严格证明相等才可交换 积分法 积分再现法 积分不等式...
一元积分学几何应用
设以下曲线都是连续的,用定积分求 平面图面积1.曲线围成的面积 2.射线与曲线围成的面积 旋转体体积1.曲线y=y(x)与x=a,x=b(a<b)以及x轴围成的图形,绕x旋转一周得到的旋转体体积 2.曲线...
定积分的计算
牛顿莱布利兹公式 下图来自 wiki 很好的解释了这个公式 方法定积分的凑微分法 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法u ’ v ‘ 在[a,b]上连续 重要结论1.奇偶连续函数 2.周期连续函数 3....
积分计算不定积分
五个基本方法公式法 凑微分 思想 例题 换元法 把复杂的东西化简 三角代换 恒等变形后三角代换 根式代换 遇见无法代换的式子就令为t 倒代换 把分母次数高的换下来,令t=1/x 分部积分法 此法适合右边容易...
变限积分与反常积
这一章知识点符号太多了,一个个打出来截图很耽误时间,没办法,偷个懒拍照记下来,最重要的还是理解,多做题多思考 变限积分概念 如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义...
定积分
知识点 不定积分与定积分的区别所有的原函数称为不定积分 不定积分运算是求导的逆运算 定积分是f与x轴围成面积,由N-L和不定积分联系 不定积分结果是一个函数,而定积分结果是个数
不定积分
补充:达布定理又称导数介质定理(用于解释上面关于间断点内容) 证明: https://wenku.baidu.com/view/b0074be8172ded630b1cb6c1.html 达布定理说明了这样一件事:如果...
定义域错误
今天遇到一道证明不等式的题,贴上我的错误步骤 先说我的思路,看到题目,我觉得题目给的形式很好,两边正好可以看成一个函数形式,做辅助函数,这样,只要求出辅助函数的增减性,就能比大小 所以我写出了我的过程,很顺利,一直到求导后大于零,...
微分不等式
微分不等式函数性态证明不等式单调性,凹凸性,最值 函数导数单调性 函数二阶导数凹凸性 函数唯一的极值,是最值点 凹函数,f(a)=f(b)=0,则f(x)<0 常数变化量证明不等式将其中一个或几个常数变量化,再利用导数工具证...
零点问题
零点问题零点定理(主要证明存在性)若f(x)在闭区间[a,b]连续,f(a)f(b)<0,则f(x)=0,至少有一根 推广的零点定理 单调性(主要证明唯一性)若f(x)在开区间(a,b)内单调,则f(x)=0,至多有...
泰勒展开的错误
常用的泰勒展开式都是x趋于0的公式,当x趋近于x0时,误差o(x)是高阶无穷小,泰勒展开很少的项就能很精确的计算出f(x)的值;当x远离x0时,误差会越来越大,如果x趋于无穷,则此时展开很少的项,皮亚诺余项会是高阶无穷大 错误步骤记录...
中值定理的证明
概念零点:f(x)=0的点(零点不是一个点) 极值点:邻域内的最值点(不一定要可导) 最值点:区间内的最值点 驻点:导数等于0的点 拐点:一阶导数的极值点(凹弧凸弧连接点) 证明费马定理极值点可导,导数为0 最后一步戴帽法:函数≥...
极坐标系下的图像
极坐标系(g(r,θ)=0) 心形线也叫外摆线,两个相同半径的圆,有一个圆固定不动,另一个圆围着固定圆转动,转动的圆上固定一点走过的路径就叫外摆线 r=a(1-cosθ) 玫瑰线 玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线 r= asin...
中值定理
关于函数的有界与最值定理若f(x)在[a,b]上连续,则存在实数m和M,使得:m≤f(x)≤M(m,M分别为最小值和最大值) 介值定理若f(x)在[a,b]上连续,当m≤μ≤M,则存在ξ ∈[a,b] ,使得f(ξ)=μ (平均值定理...
一元函数微分学几何应用二
渐近线铅垂渐近线当x趋于一点x0时,函数极限是无穷,则x=x0为函数的铅锤渐近线 铅垂线不一定是无穷间断点:间断点是一个过程,需要两边都有趋向的过程,铅锤线可以在一侧无定义 水平渐近线当x趋于正无穷或负无穷时,函数极限为常数y0,则y...
一元函数微分学几何应用
三点两性一点 一.极值和最值的概念定义极大值: 若对点x0的某个邻域内所有x都有f(x)≤f(x0),则称f(x0)是f(x)的广义极大值 若对点x0的某个邻域内所有x都有f(x)<f(x0),则称f(x0)是f(x)的真正...
一元函数可导·可微·极限存在·连续概念整理二
1.若函数可导,求导后奇偶性互换 2.若函数为周期为T的函数,求导后导函数也为以T为周期的函数 3.微分记法 4.补充 5.高阶导数 反函数二阶导公式 隐函数二阶导公式 6.用幂指函数求导公式时,要恒等变形,不...
一元函数可导·可微·极限存在·连续概念整理
整理一下一阶函数的的概念 可导和可微是等价的 证明这个用到了函数极限的等式脱帽法 证明 可导必连续 反过来,连续不一定可导,记一个例子,y=|x| 连续必极限存在 由连续定义可得 闭区间连续必有界,有最值 ...
极限替换错误
例子今天做过的两道题,通过错误示范,加深了对极限替换的认识 第一题,过程和结果正确 刚开始做第一题时,我看见有e^x,就想配一个1出来用等价无穷小替换e^x-1 ~x,然后看到前面的x,正好提一个x出来,后面就是重要极限,为1, ...
一元函数微分学的计算
四则运算若以下函数均可导 扩展:[u(x)v(x)w(x)]′=u′(x)v(x)w(x)+u(x)v′(x)w(x)+u(x)v(x)w(x)′ 分段函数的导数分段点定义 非分段点公式 复合函数的导数与一阶微分方程的不变性复合函...
一元函数微分学的概念
导数的概念定义 若函数y=f(x)在x0邻域内有定义,且x+∆x在邻域内,则增量∆y为 当 存在,则称f(x)在x0处可导 并称这个极限为f(x)在x0处的导数 注意: 增量有时候会广义化 可以把增量写成差的形式(两种形式)...
函数连续性
连续与间断定义(逐点的概念) 设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义,当函数极限值等于函数值时,称函数在x0连续 极限是个过程,连续必须要有过程,点x0的某一邻域内有定义这是前提 可去间断点函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义 ...
函数与极限考试题型
函数与极限考试题型1.无穷小比阶无穷小定义 如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为0,那么,f(x)称函数x→x0(或x→∞)时的无穷小 记作 无穷大定义与无穷小相对 如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时,|f(...
函数极限
主要是计算 邻域(1)一维情况 以x为中心的任何开区间称为x的邻域,记作U(x) (2)二维情况 设P0(x0,y0)是XOY平面上的一点,δ是一个正数,与P(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体称为点P的δ邻域,记为U(...
数列极限
数列极限定义设一个数列{an},存在一个常数a,使得任意一个正数ε(不管他有多小),总存在一个N,当n>N时 |an-a|<ε 恒成立,则称数a是数列 {an} 的极限,或称数列 {an} 收敛于 ε 若不存在这样的数...
高数基本知识
知识点全为摘录 数列等差数列 等差数列通项公式an=a1+(n-1)d 前n项和Sn=n(a1+an)/2 等比数列 等比数列通项公式an=a1*q^(n-1) 前n项和 Sn=na1 q=1 Sn=a1(1-q^n)/(1-q...
函数的图像
直角坐标系下的图像基本初等函数:常反对幂指三 常函数 y=c,一条平行于x轴的直线 x=c,一条平行于y轴的直线 幂函数 三个代表+奇偶性 1<u u=2 偶函数 ...
函数概念与特性
函数 your browser does not support the video tag 假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应,那么就称y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取...